Parece poco intuitivo, pero aplicando la función zeta de Riemann
Usando la función zeta de Riemann se pueden regularizar sumas y productos infinitos de números naturales. Casi todo el mundo ya sabe que la suma infinita ∑ n = 1+2+3+4+⋯ = ζ(−1) = −1/12, y que ∑ 1 = 1+1+1+1+⋯ = ζ(0) = −1/2. Quizás sea menos conocido que el producto infinito ∏ n = 1⋅2⋅3⋅4⋯ = ∞! = exp(−ζ ‘(0)) = (2π)¹ᐟ², o que para los pares 2⋅4⋅6⋅8⋯ = (π)¹ᐟ², y para los impares 3⋅5⋅7⋅9⋯ = (2)¹ᐟ². Pero me gustaría destacar en esta pieza cuánto vale el producto de todos los números primos ∏ p = 2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13⋯ = exp(−ζ ‘(0)/ζ²(0)) = 4π². Si no conocías este resultado, quizás te sorprenda, pues implica que ∏ n / ∏ p ≈ 0.063 < 1,
es decir, el producto de todos los primos es unas 16 veces más grande que el producto de todos los números.
El cálculo se puede realizar fácilmente «à la Euler», pero también se puede hacer con todo rigor matemático; nos lo mostraron Elvira Muñoz García, Ricardo Pérez Marco, «The product over all primes is 4π²,» Communications in Mathematical Physics 277: 69-81 (2008), doi:
https://doi.org/10.1007/s00220-007-0350-z [
PDF], IHES/M/03/34 (May 2003) [
PDF]; una demostración rigurosa en Elvira Muñoz García, Ricardo Pérez Marco, «Super-regularization of infinite products,» IHES/M/03/52 (Aug 2003) [
PDF]. La figura que abre esta pieza es la espiral de Ulam [
wikipedia].
Hay muchos otros productos infinitos que se pueden superregularizar, como el producto infinito de los números de Fibonacci, Adrian R. Kitson, «The regularized product of the Fibonacci numbers,»
arXiv:math/0608187 [math.HO] (08 Aug 2006), o el de los números odiosos (los que tienen un número impar de dígitos 1 en su representación binaria), Jean-Paul Allouche, «The zeta-regularized product of odious numbers,» Advances in Applied Mathematics 126: 101944 (May 2021), doi:
https://doi.org/10.1016/j.aam.2019.101944,
arXiv:1906.10532 [math.NT] (25 Jun 2019). También recomiendo Jean-Paul Allouche, «Zeta-regularization of arithmetic sequences,» EPJ Web of Conferences 244: 01008 (15 Oct 2020), doi:
https://doi.org/10.1051/epjconf/202024401008.
Supongo que te gustaría que copiara aquí la demostración «à la Euler» de Elvira y Ricardo, pero te dejo que la disfrutes en sus artículos (pues no puedo aportar nada nuevo que no esté en ellos). Solo te comentaré que Ricardo destaca en su artículo que el símbolo π para el número pi se popularizó gracias al libro de Leonhard Euler, «Introductio in Analysin Infinitorum» (1748), pero que lo usó por primera vez William Jones en 1706 (otras fuentes lo confirman, como Patricia Rothman, «The Man Who Invented Pi,»
History Today, 07 Jul 2009).
El artículo de Elvira y Ricardo no te explica cómo calcular ζ ‘(0), pues es bien conocido. Lo puedes encontrar en muchos lugares, por ejemplo, en este vídeo del canal Mostly Math! (en el que puedes encontrar
demostraciones de pizarra de muchos resultados curiosos).
