(1) Límite de g(x) para x = -1:
lim [x-> -1-] g(x) = lim [x->-1+] g(x)
lim [x-> -1-] a^2 * x + a * x - 12 = lim [x-> -1+] 3a - 3
a^2 - a - 12 = 3a - 3
a^2 - 4a - 9 = 0
(2) Límite de g(x) para x = 2:
lim [x-> 2-] g(x) = lim [x-> 2+] g(x)
lim [x-> 2-] 3a - 3 = lim [x-> 2+] b * x + 3
3a - 3 = 2b + 3
b = (3a - 6) / 2
Sistema con dos incógnitas y dos ecuaciones.
(3) Solución del sistema de ecuaciones:
(3.1) Solución de la ecuación de segundo grado:
a^2 - 4a -9 = 0 /+9
a^2 - 4a = 9 /+4
a^2 - 4a + 4 = 13
(a - 2)^2 = 13 /sqrt( )
a - 2 = sqrt(13) ∨ a - 2 = -sqrt(13)
a = 2 + sqrt(13) ∨ a = 2 - sqrt(13)
(3.2) Reemplazo de los valores de a en b(a)
b(a) = (3a - 6) / 2
(3.2.1) Si a = 2 + sqrt(13):
b = [3 * (2 + sqrt(13)) - 6] / 2
b = [6 + 3 * sqrt(13) - 6] / 2
b = [3*sqrt(13)] / 2
a ~ 5.605... ^ b ~ 5.408... (supongo que sabes lo que es el operador lógico "^")
(3.2.2) Si a = 2 - sqrt(13):
b = [3 * (2 - sqrt(13)) - 6] / 2
b = [6 - 3 * sqrt(13) - 6] / 2
b = [-3*sqrt(13)] / 2
a ~ -1.605... ^ b ~ -5.408...
(4) Evaluación del límite en x = -1 y x = 2 en ambos resultados:
(4.1) a ~ 5.605... ^ b ~ 5.408...
(4.1.1) x = -1:
lim [x-> -1-] g(x) = lim [x->-1+] g(x)
lim [x-> -1-] a^2 * x ^2 + a * x - 12 = lim [x-> -1+] 3a - 3
lim [x-> -1-] (31.422... * x ^ 2 - 5.605... * x - 12) = lim [x-> -1+] (3 * 5.605... - 3)
13.816... = 13.816...
(4.1.2) x = 2:
lim [x-> 2-] g(x) = lim [x-> 2+] g(x)
lim [x-> 2-] 3a - 3 = lim [x-> 2+] b * x + 3
lim [x-> 2-] (3 * 5.605... - 3) = lim [x-> 2+] (5.408... * x + 3)
13.816... = 13.816...
Luego, para a ~ 5.605... y b ~ 5.408..., la función g(x) cumple con las condiciones de continuidad
en x = -1 y x = 2.
(4.2) a ~ -1.605... ^ b ~ -5.408...
(4.2.1) x = -1:
lim [x-> -1-] g(x) = lim [x->-1+] g(x)
lim [x-> -1-] a^2 * x ^ 2 + a * x - 12 = lim [x-> -1+] 3a - 3
lim [x-> -1-] (2.577... * x ^ 2 - 1.605... * x - 12) = lim [x-> -1+] (-3 * 1.605... - 3)
-7.816... = -7.816...
(4.2.2) x = 2:
lim [x-> 2-] g(x) = lim [x-> 2+] g(x)
lim [x-> 2-] 3a - 3 = lim [x-> 2+] b * x + 3
lim [x-> 2-] (-3 * 1.605... - 3) = lim [x-> 2+] (-5.408... * x + 3)
-7.816... = -7.816...
Luego, para a ~ -1.605... y b ~ -5.408..., la función g(x) cumple con las condiciones de continuidad
en x = -1 y x = 2.
Finalmente, la función g(x) es continua para ambos pares de valores a,b. El problema tiene un conjunto
de soluciones y no solución única MONGÓLICO CTM